KOMPLEKSIANALYYSI 03018A

1. Kompleksiluvut

-konjugaatti, reaaliosa, imaginaariosa, itseisarvo, käänteisluku, napaesitys, stereograafinen projektio, argumentti, päähaara, modulo, binomiyhtälö, eksponenttiesitys, Eulerin ja de Moivren kaavat, juuri, kompleksinen virta, jännite ja impedanssi, RC-suodatin, diskreetti LTI-systeemi, siirtofunktio, taajuusvastefunktio, amplitudivaste, vaihevaste, nollien ja napojen sijoittaminen, DFT

2.Funktiot

-polynomi- ja rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, yleinen potenssifunktio, trigonometriset funktiot, Arcus-funktiot, hyperboliset ja area-funktiot, kuvausominaisuudet, pääarvo, päähaara, raja-arvo, jatkuvuus

3.Differentiaalilaskentaa

-derivaatta, analyyttinen funktio, ketjusääntö, konforminen kuvaus, Cauchy-Riemannin yhtälöt ja analyyttisyys, harmoniset funktiot, konjugaattiharmoninen

4.Sarjat

-suppeneminen, itseinen suppeneminen, tasainen suppeneminen, suppenemissäde, sarjan summa, suhdetesti, juuritesti, potenssisarjat, suppenemiskiekko, potenssisarjan analyyttisyys ja derivointi, Taylorin kehitelmä

5.Integrointi

-kompleksinen käyräintegraali, yhteys reaaliseen käyräintegraaliin, integrointi kaaren pituuden suhteen, integraalifunktio, Jordan käyrä, Cauchyn lause, Cauchyn kaava, keskiarvokaava, Taylorin kehitelmä, Laurentin kehitelmä, erikoispisteet ja niiden laatu, navat, Residy-laskentaa, Argumentin periaate, Rouchen lause ja funktion nollakohtien lkm

6.Möbius-muunnos (Bilineaarikuvaus)

-Möbius-muunnos ja konformikuvaus, yhdensuuntaissiirto, kierto ja homotetia, inversio, bilineaarikuvaus ja siirtofunktion navat

7.Diskreetti systeemi, stabiilisuus

-diskreetti lineaarinen aikainvariantti systeemi (digitaalinen suodatin), input (heräte), output (vaste), impulssivaste, siirtofunktio, z-muunnos, konvoluutio, kausaalinen systeemi, askelvaste, stabiilisuus (BIBO), Schurin polynomi, Hurwitzin polynomi